로그(log) 와 음수, log(-1) 은 얼마인가?

a^c = b 를 만족할때 log_a (b) = c 또는 log(a,b) = c 라고 표현된다.

특히 a = e 일때를 자연로그 (보통 ln 으로 표기), a = 10 일때를 상용로그 (보통 lg 로 표기), a = 2 일때를 이진로그 (보통 lb 로 표기) 하여 구분한다고 하는데, ln 말고는 잘 안쓰인다.

 
그리고, 고등학교 교과과정에서는 로그에 대해서 a 는 1 이 아닌 0 보다 큰 실수, b 는 0 보다 큰 실수로 한정한다.

이렇게 범위를 한정하는 이유는, 저 조건을 만족해야 실수 범위 내에서 정의되기 때문이다. 하지만, 수학의 세계는 넓고도 오묘해서 log 를 음수뿐만 아니라 복소수 범위로 확장해서 적용하는 것이 가능하다.

(주1: 이 글에서는 편의상 밑이 표기 안된 log 는 자연로그 ln 을 의미함.)
(주2: 이 글에서는 편의상 엄밀한 증명은 생략함.)

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1.1) b 가 음수인 경우

예를 들어 log(-1) 은 어떤 값일까?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%28-1%29
울프람 알파에 돌려보면 log(-1) = iπ 이라는 허수가 튀어 나온다.

그런데, 이것은 바로 그 유명한 오일러의 등식 e^(iπ) = -1 으로부터 계산되어 진다.

이 유명한 오일러의 등식이 이런데서 튀어 나오는 걸 보면, 다시한번 오일러의 위대함을 느낄 수 있다.

사실 엄밀히 말하면 e^(3iπ) = -1 이고, e^(5iπ) = -1이며, 뿐만아니라 모든 2π 를 주기를 가지는 (2k+1)iπ, (k는 정수)에 대해서 e^((2k+1)iπ) = -1 이 성립하므로, 저렇게 하나의 값으로만 결정되지만은 않는다. 좀더 자세한건 이 글에서는 패스한다. 그래도 알고 싶다면, 아래의 사족 참조.

임의의 양의 실수 x, (x>0) 에 대해서 -x 의 로그값은 아래와 같이 정의할 수 있다.

물론 엄밀한 정의는 아니지만, 이 글에서는 이정도만 이해해도 충분하다. 정확하게는 음수에 대해서 정말 로그가 정의되는지, 정의된다고 할때 덧셈 규칙이 적용되는지 등등이 확인되어야 한다.

1.2) b가 복소수인 경우

b 가 음수일때도 log 가 정의됨을 이해했다면, 복소수여도 정의됨을 이해할 수 있을 것이다.
예를 들어 log(i) 는 얼마일까?

역시, 좀더 일반식인 오일러의 공식 e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) 가 사용된다.

x = π/2 일때, 우변이 i 가 된다. 다시 말해 e^(iπ/2) = i 이고, 즉 log(i) = iπ/2 이다.

임의의 복소수에 대해서 로그 값을 구하기 위해서는 일단 복소수를 극좌표 형식로 변환한다. 

그리고, 위 식의 양변에 로그를 취하고 정리하면 다음과 같이 된다.

위의 log(-x) 역시 이 형태의 특수한 경우임을 알 수 있다.

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2.1) a 가 음수 인경우

로그를 정의할때 a 는 1이 아니고, 0보다 큰 양의 실수로 제한되어 있다.

그런데, (-2)^2 = 4 이므로 log(-2,4) = 2 라고 쓸 수 있을까?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%28-2%2C4%29
울프람 알파에 돌려 보면 log(-2,4) = log(4) / ( log(2) + iπ ) 라는 값이 튀어 나오고, 이는 분명히 2 는 아니다.

a 가 음수이면 어떻게 되는 것일까?

의외로 간단하다. 
로그의 성질상 log_a (b) = log (b) / log (a) 이고, log (n*m) = log(n) + log(m) 만 알고 있으면 된다.

다시 말해 log(-2,4) 를 풀어 쓰면 다음과 같다.

log(-2,4) = log(4) / log(-2) = log(4) / ( log(2) + log(-1) )
그런데, log(-1) = iπ 라고 위에서 값을 계산했다.
그러므로, log(-2,4) =  log(4) / ( log(2) + iπ ) 가 된다.

2.2) a 가 복소수인 경우

여기까지 왔다면, a 가 복소수여도 아무런 문제가 없다는 것도 이해가 될 것이다.

예를 들어, i 를 밑으로 하는 log_i(2) 라면, 이는 log(2) / log(i) 가 되고, log(i) = iπ/2 이므로, 
그러므로 log_i(2) = 2log(2) / iπ = - 2log(2) * i / π 임을 계산할 수 있다.
 

결론

log_a (b) 는 a=0, a=1, b=0 인 경우를 제외한 모든 복소수 a,b 에 대해서 정의된다.

사족

복소수의 로그는 이미 오래전에 잘 정의되어 있는데, 이를 조금 쉽게 풀어 쓴 것이다. 그리고, 실제로는 훨씬 더 엄밀한 수학적 정의가 필요하며, 이에 대해서는 대학교 수학중 '복소해석학'에서 다룬다. 이마저 수학과이거나,이에 관심있는 사람이 아니라면 구경할일 조차 없는 과목이다.

그래도, 자세히 알고 싶다면, 일단 아래 링크된 위키백과(영문)이라도 보면 좋다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_analysis
http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Arg_(mathematics)

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