1-1+1-1+ ... = ?

1 과 -1 이 무한히 번갈아 나오는 수열의 합은 얼마인가?
즉 1-1+1-1 ... 은 얼마인가?

1 과 -1 을 하나씩 묶어서 (1-1) + (1-1) + .., 이라고 쓴다면 그 값은 0 이 될 것이다.
처음 1은 넘기고, -1과 1을 하나씩 묶어서 1+(-1+1)+(-1+1)+... 라고 하면 그 값은 1 이 될 것이다.

고전적인 수학에서는 이 값은 하나로 결정되지 않으므로, 진동한다고 표현한다. 아니면, 그냥 특정 값을 가지지 않는다고 표현해도 무방하다.

하지만, 수학자들은 뜬금 없는 황당한 가정을 많이 하는데, 이 경우라면, 이 수열의 합을 하나의 수로 표현할 수 없을까? 라는 가정이다.

좀더 일반적인 이야기를 하기 위해서, 초기항이 1 이고, 등비가 r 인 수열 A_r(n) 을 생각하고, S_r(n) 은 그 수열의 부분합, S_r 은 S_r(n) 의 극한값, 즉, 무한등비급수 라고 하자.

|r|<1 에 대해서 S_r = 1/(1-r) 로 수렴함다는 것은 명명백백한 사실이다.

|r|<1 이란 범위에서 S_r 의 그래프를 그려 보면 이와 같다.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281-r%29+for+-1%3Cr%3C1
 

그럼 r = -1 일때는 무슨 값을 가지는가?
 

 
S = 1-1+1-1+ ... 이며, 처음에 이야기 했듯이 고전 수학에서는 이 값은 진동하므로, 특정한 값을 가지지 않는다.

하지만, 여기에 r 에 0 에서 -1로 근접해 간다는 극한의 개념을 도입해 보자.

r 에 -0.9, -0.99, -0.999 을 넣어서 보면, r = -1 에 갈수록 그 값이 1/2 로 수렴함이 명백하다.

즉, r->-1 로 갈때의 S_r 의 극한 값은 1/2 이다.

주) 다만, r 에 0 에서 -1 로 가는 방향의 좌극한은 존재하지만, r 이 -2 에서 -1 로 가는 우극한은 존재하지 않는다. 그러므로, 고전적인 극한의 정의를 따르면 r = -1 에서 극한값은 존재하지 않는다.

그렇다면, 이 극한값을 이용해서 r = -1 일때 S_r = 1/2 이라고 쓸 수 있지 않을까?

이렇게 쓸 수 있다고 가정하는 것이 수학적 확장 (analytic continuation) 이다.

이런 개념을 받아 드리면, 다른 수열에도 확장이 가능할 것이다.

r = -2, -3, -4 에 대해서는 이렇게 된다.

이 결과를 이용하면 또 다른 수열의 합에 대해서도 적용이 가능해 진다. 등비수열이 아니어도 상관 없다. 
예를 들어 T = 1-2+3-4+5- ... 이라고 하면,

이와 같은 방법으로 1-2+3-4+5- ...  = 1/4 이라는 값을 얻을 수 있다.

그나마 + 와 - 로 진동하는 수열이야 그려려니 하지만, 양수로만 구성된 수열의 합을 모두 더하면 음수가 된다는 상식적으로 이해할 수 없는 황당하기 그지 없는 결과가 튀어 나온다.
 

이런 것들은 모두 '해석적 확장'이란 개념을 적용할 때 얻어 지는 결과 이다.

관련 위키 사이트

해석적 확장 (또는 해석적 연속) : http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_continuation

1-1+1-1+... = ? : http://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series
1-2+4-8+... = ? : http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_4_%E2%88%92_8_%2B_%E2%8B%AF
1-2+3-4+... = ? : http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%92_2_%2B_4_%E2%88%92_8_%2B_%E2%8B%AF
1+2+3+4+... = ? : http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF
1+1+1+1+... = ? : http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_1_%2B_1_%2B_1_%2B_%E2%8B%AF
1+2+4+9+... = ? : http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_%E2%8B%AF

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