이쁜왕자 만쉐~~

정다면체


가장 기본이 되는 건 당연히 정십이면체(regular dodecahedron) 이다. 5가지의 정다면체 중 하나이다. 정다면체는 Platonic solids 라고도 부른다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid


준정다면체

정다면체를 적당히 변형하면서도, 대칭성을 유지하는 다면체를 준정다면체 (semiregular polyhedrons) 또는 아르키메디안 입체 (Archimedean solids) 라고 부른다. 아르키메디안 입체는 총 13가지가 (2가지 대칭형태를 고려하면 15가지) 있으며, 아래 위키에서 확인해 볼 수 있다. 준정다면체는 아르키메디안 입체와 프리즘, 안티프리즘까지 포함한 다면체를 통칭한다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Semiregular_polyhedron
http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid

이중 정오각형을 12개 쓰는 다면체는 4가지이다.


이 다면체는 십이이십면체(icosidodecahedron) 이라고 부르는데, 정십이면체를 깍아서 만든 다면체로, 정오각형12개와 정삼각형20개로 구성된다. 정십이면체를 살짝 깍으면 정십각형12개와 정삼각형20개로 만들어지는 truncated dodecahedron 이라는 다면체가 만들어지는데, 정십이면체의 각 모서리의 중심을 기준으로 조금더 많이 깍으면 위의 다면체가 된다. 특이한 것은 정이십면체의 각 모서리의 중심을 기준으로 깍아도 위 다면체가 나온다.


한번쯤은 다 보았을만 한 축구공모양의 이 다면체는 깍은 정이십면체 (truncated icosahedron) 라고 부른다. 정이십면체의 각 모서리의 1/3 지점을 기준으로 깍아내면 위의 다면체가 나온다. 정오각형 12개와 정육각형 20개로 구성된다.


이는 부풀린 십이이십면체(rhombicosidodecahedron) 이라고 부르는 다면체이다. 정오각형 12개, 정사각형 30개, 정삼각형20개 로 구성된 62면체 도형이다. 정십이면체의 각면을  떼어내서 벌리고, 그 사이를 정사각형으로 채우고, 나머지 빈칸을 정삼각형으로 채운 구조이다.


이는 snub dodecahedron 이라고 부르는 다면체이다.(우리말로는 뭐라 부르는지 모르겠다.) 정오각형 12개, 정삼각형80개 로 구성된 92면체 도형이다. 앞의 도형과 마찬가지로 정십이면체의 각면을 떼어내서 벌리고, 그 사이를 정삼각형으로 채운 구조이다. 준 정다면체 중에서는 가장 면이 많은 형태이다. 참고로 이 다면체는 거울대칭의 2가지 형태를 가진다.


존슨 입체

볼록다면체가 한변의 길이가 같은 정다각형으로만 만들어지고, 그것이 대칭성을 유지할때는 준정다면체라고 부르지만, 당연히 대칭성을 가지지 않은 다면체도 존재한다. 그런 다면체를 통틀어 존슨 입체 (Johnson solids) 라고 부르며 아래 위키에서 확인해 볼 수 있다. 존슨 입체는 총 92가지가 있다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Johnson_solid

다시 십이이십면체(icosidodecahedron) 로 돌아가서 잘 살펴 보면, 정확히 반으로 쪼갤 수 있다는 것을 알 수 있다. (주: 반으로 쪼갠 도형은 J6 - pentagonal rotunda 이라 부른다). 그리고, 반으로 쪼갠뒤 36도 비틀어 붙혀도 다면체가 된다는 것을 알 수 있다.


이렇게 만들어지는 도형은 34번 존슨입체 (J34) 가 되며, pentagonal orthobirotunda 또는 gyrate icosidodecahedron 라고 부른다. 그리고, 잘라 붙히기 전에 그 사이에 프리즘이나 안티프리즘을 채워 넣어서도 다면체를 만들 수 있다.


왼쪽 부터 차레대로 J42 - elongated pentagonal orthobirotunda , J43 - elongated pentagonal gyrobirotunda , J48 - gyroelongated pentagonal birotunda 라고 부른다.

이제는 부풀린 십이이십면체(rhombicosidodecahedron) 로 돌아 가보자. 이는 정오각형1개와 정사각형5개, 정삼각형 5개로 된 부분을 잘라낼 수 있다. (주: 그렇게 잘린 다면체는 J5 - pentagonal cupola 라고 하고, 남은 부분은 J76 - diminished rhombicosidodecahedron 이라고 한다.) 이 역시 잘린 면이 정십각형이기 때문에, 잘라 낸 뒤 36도 비틀어 붙히는 것이 가능하다.

그렇게 만들어 진 도형은 J72 - gyrate rhombicosidodecahedron 이라 부른다. 그림 상의 빨간 선을 기준으로 회전되었으며, 정사각형끼리 만나게 됨을 알 수 있다.

 
그리고, 마지막으로, 그런 변형을 3번 수행하면, 이는 J75 - trigyrate rhombicosidodecahedron 라고 한다.

정리하면, 정오각형을 12개 사용하는 볼록다면체는 총 13가지 이다.