원주율 pi 에는 셰익스피어 전집이 들어 있는가?

3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609...

원주율 pi 는 3.14... 로 시작되는 무리수이다. 무리수 이므로, 소수점 아래로 계속 숫자가 나오는데, 반복되지 않음을 의미한다. 그렇다면, 원주율 pi 의 소수점 이하 부분을 계속 조사하면 임의의 숫자가 반드시 존재할까? 예를 들어 18034821308 이라든지 10000000000000 같은 숫자가 반드시 나올까? 이런 숫자가 실제로 나온다면, 훨씬 더 큰 숫자도 나올 수 있음을 의미한다. 

일반 문장은 아스키 코드나 유니코드를 이용해서 간단하게 숫자로 변환할 수 있다. 예를 들어 Juliette 의 아스키코드는 74, 117, 108, 105, 101, 116, 116, 101 이고, 이를 모두 이어 붙이면  074117108105101116116101 이란 숫자가 된다. 앞의 0 은 자릿수를 맞추기 위해 채워 넣은 것인데, 문제가 된다면 앞에 적당한 숫자 하나 더 붙혀도 된다. 이 숫자가 만약 pi 의 소수점에 등장한다면, 이는 즉 pi 에 Juliette 이란 단어가 들어 있음을 의미한다. 이런식으로 글자를 숫자로 변환하는 방법을 사용하면, 셰익스피어 전집(또는 성경 또는 심지어 도서관의 모든 책 전부다)을 통채로 하나의 숫자로 표현할 수 있게 되고, 그 숫자가 pi 안에 존재한다면, pi 안에 셰익스피어 전집이 들어 있게 되는 셈이다.

사실 이는 무한 원숭이 정리 라고 부르는 것과 거의 동일한 내용이다. 무한의 시간을 가진 원숭이가 랜덤하게 타자기를 두드리면, 거기에 셰익스피어 전집이 들어 있다는 내용이다.

위키의 무한 원숭이 정리

이 정리에 따르면 확률적으로 그럴 가능성은 1에 수렴한다. 하지만, 여기에는 많은 가정이 누락되어 있다. '무한(infinite)'라는 것을 명확하지 않게 사용하며, 무엇보다도 '임의(random)'라는 것을 모호하게 사용하여, 자의적으로 해석해서 쓴다는 것이다. 그래서, 무한 원숭이 정리는 '아마도' 맞는 말이지만, 수학적으로 엄밀하지는 않다.


위의 언급된 내용을 엄밀하게 수학적으로 정의한 것이 normal number 라는 것이다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_number 

어떤 실수(real number)가 존재하여, 10 진법으로 표현했을때 각 자리의 숫자는 1/10 의 확률로 균등하게 분포한다. 또한, 두자리씩 선택하면, 각각은 1/100 확률로 균등하게 분포하고, 임의의 n 자리에 대해서 1/10^n 확률로 균등하게 분포한다. 이런 조건을 만족하면, 이 수는 normal number 이다.

Normal number 는 진법에 따라 달라질 수 있는데, 여기서는 이해하기 쉽게 10진법만 다루도록 한다.

어떤 실수가 normal number 이면, 그 수는 임의의 숫자열을 반드시 포함한다. 것과 동등하다.
즉, 어떤 실수가 normal number 이면, 그 수는 셰익스피어 전집을 포함한다고 말할 수 있다.

일단, 이러한 수가 존재하는 것은 명확하다. 가장 극단적으로 Champernowne constant 라는 것이 있다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Champernowne_constant 

자연수 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ... 를 차례대로 이어 붙혀서, 0.12345678910111213... 으로 만든 수 이다. 이 수가 normal number 라는 것은 자명하다. 그리고, 당연하게 이 수에는 임의의 자연수가 포함되어 있다. 즉, Juliette 에 해당하는 074117108105101116116101 라는 수도 포함하며, 셰익스피어 전집 역시 당연하게 포함하고 있다.

실제로 이러한 normal number 는 무한히 많이 존재한다. 
(normal number 의 집합은 실수와 같은 카디낼러티를 가진다. 즉, uncountable infinite) 

그럼 반대로, 모든 실수는 normal number 일까? 당연히 아니다. 유리수는 소수 표현시 유한하거나 순환하므로 normal number 가 될 수 없다. 무리수의 경우에도, 특정 숫자(예를 들어 5)가 아예 나오지 않는 무리수는 얼마든지 만들어 낼 수 있다. Champernowne constant 를 살짝 변형해서, 5가 포함되지 않는 자연수를 이어 붙힌 수을 생각해 보자. 이 수는 쉽게 무리수임을 보일 수 있지만, 5가 존재하지 않으므로 당연히 normal number 일 수 없다. Normal number 가 아닌 수 역시 무한히 많이 존재한다. (역시  uncountable infinite)


그렇다면, 한가지만 확인하면 된다. 

원주율 pi 는 normal number 인가?

이에 대한 답은 normal number 에 대한 위키에 나와 있다.

원주율 pi 는 normal number 일 것으로 추정은 되지만, 증명되지 않았다.

 
원주율 pi 뿐만 아니라 e, √2 등 쉽게 접하는 대부분의 무리수들이 normal number 일것으로 추정은 되지만, 증명되지는 않았다. 

결국, 최종 결론은,.

원주율 pi 에는 셰익스피어 전집이 들어 있을 것으로 추정은 되지만, 증명되지 않았다.

- 이쁜왕자 -
- Valken the SEXy THief~~ ^_* -