이차 정사각 행렬 A 에 대해서, A^3 = O 이면, A^2 = O 인가?
이 문제는 케일리-해밀턴 정리를 쓰면 어렵지 않게 참 임을 증명 할 수 있습니다.
A = (a b) / (c d) 라고 놓자.
A 가 역행렬이 존재한다고 가정하면, A=O 이 되어 모순이 발생한다.
즉, A 는 역행렬이 존재 하지 않으며, 그러므로, ad-bc = 0 이다.
케일리 헤밀턴 정리에 의해서 A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = O 이므로, A^2 = (a+d)A 가 된다.
A^3 = O 에 위 식을 두번 대입하면 (a+d)^2·A = O 이 되며, 이는 a+d = 0 또는 A = O 이다.
두 경우 모두 (a+d)A = O 이 된다. 즉, A^2 = O 이다.
주1) 같은 방법으로 A^n = O (n>= 2) 이면 A^2 = O 임을 증명할 수 있다. 또한, 임의의 크기의 정사각 행렬에서도 위 조건을 만족한다.
주2) 오유의 수학자님의 풀이에서 발췌
http://todayhumor.co.kr/board/view.php?table=science&no=8932
그런데, 케일리-해밀턴 정리를 사용하지 않고, 증명하는게 가능할까요?
- 이쁜왕자 -
- Valken the SEXy THief~~ ^_* -
