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주사위로 사용되는 기하학적 도형

이쁜왕자 2021. 6. 9. 00:34

 

주사위 하면 떠올리는 가장 기본적인 형태는 정육면체 이다. 그러나, 주사위는 정육면체만 있는 것은 아니다.

다양한 면을 가진 주사위가 존재하며, 실제로도 널리 쓰인다. 주사위의 기본이 되는 모양은 5종류의 정다면체이다. 4, 6, 8, 12, 20 면을 가진 5가지 종류의 주사위가 기본으로 존재한다.


10면체 주사위(d10)

정육면체를 포함하여 5가지 정다면체는 모두 주사위로 쓰인다. 그런데, 위의 주사위 모음을 보면, 정다면체가 아닌 주사위가 있는데, 이는 10면체 주사위 이다. 100까지 사용할 수 있도록 0 ~ 9 가 적인 주사위와 0, 10, 20, ... , 90 가 적힌 2개의 10면체 주사위가 존재한다.

          

 

이 10면체는 연(kite) 라고 부르는 사각형 10개로 만들어진 pentagonal trapezohedron 이라고 부르는 다면체이다. 왼쪽의 이미지는 위아래로 길고 뽀죡하게 되어 있지만, 실제 주사위를 만들때는 오른쪽 처럼 납작하게 눌러서 굴리기 쉬운 형태로 만든다.
https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_trapezohedron

 

 

사실 2개의 오각뿔을 붙힌 pentagonal bipyramid 라는 도형도 10개의 동일한 면을 가진 10면체가 된다. 다만, 이 것보다 위의 형태로 만드는데, 그 이유는 좀더 잘 구른다는 이유도 있고, 위 아래가 대응 되는 구조가 되기 때문에, 숫자를 보기 편하다는 장점이 있기 때문이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_bipyramid

 

 

이런 형태의 다면체는 작정하고 더 많은 수의 면을 가진 주사위를 쉽게 만들 수 있다는 장점이 있다. 면수를 계속 확장하며 12면체, 14면체, 16면체, 18면체 등을 쉽게 만들 수 있다. 위 사진은 34면체 주사위 이다.


각기둥

사실 도 훌륭한 주사위에 속한다. 일반적으로 연필은 너무 쉽게 굴러 떨어지지 않도록 하기 위해서 육각기둥 모양으로 제조되는데, 이 육각기둥은 충분히 '주사위'로써 활용할 수 있다. 사실 모든 각기둥은 '굴리는 방법'을 통해서 주사위로 활용이 가능하다. 다만, 굴리기 쉽도록 충분히 길게 만들어 질 필요는 있다.

각기둥 모양의 주사위는 3이상의 어떤 수로도 공평한 주사위를 만들 수 있다는 장점이 있다. 특히, 일반적으로는 만들 수 없는 '홀수 주사위'를 쉽게 만들수 있다는 것은 커다란 장점이다.

위 2 사진은 모두 11면 주사위 이다. 그냥 굴리는 것만 상정해서 정말 '각기둥' 형태로 만들어진 것도 왼쪽의 형태도 있고, 던질 수도 있도록 양 끝을 둥굴뾰족하게 깍아 놓은 오른쪽의 형태도 있다.

참고로 각기둥은 영어로 'prism' 이라고 부른다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Prism_(geometry)

 


엇각기둥

각기둥과 비틀어 놓은 것 같은 도형을 '엇각기둥(antiprism)' 이라고 부르는데, 이 역시 각기둥과 비슷한 이유로 주사위로 활용할 수 있다. 다만, 엇각기둥은 홀수는 구조적으로 불가능하고, 무조건 짝수여야 한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Antiprism

 


12면체 주사위(d12)

 

12면체 주사위는 '정12면체'라는 가장 좋은 형태가 존재하기에, 당연히 이 모양이 가장 널리 사용된다. 그런데, 이 모양이 아닌 12면체 주사위도 존재한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_dodecahedron

 

12개의 마름모로 구성된 '마름모십이면체( Rhombic dodecahedron ) 이라는 도형으로된 주사위도 있다. 

https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_dodecahedron

 

위의 마름모십이면체와 같이 각면이 정다면체는 아니지만, 같은 모양을 가진 다면체가 존재하는데, 이런 형태의 다면체를 '카탈랑의 다면체'라고 부르며, 여러가지 주사위를 만드는 기하학적 기초가 된다. 아래쪽에 소개되는 주사위들은 거의 대부분 카탈랑의 다면체들이다.

https://ko.wikipedia.org/wiki/카탈랑의_다면체

 

다만, 모든 카탈랑의 다면체가 주사위를 만들기에 적절한 모양을 가지고 있다고 할 수는 없다.

위 다면체는 Triakis tetrahedron 라는 이름의 카탈랑의 다면체 인데, 12개의 동일한 삼각형으로 만들어져 있기에, 이 형태로도 주사위를 만들면 지극히 '공정한' 주사위를 만들 수는 있다. 하지만, 각 면이 '좁다'는 단점이 있에서, 위의 2가지 형태 보다 좋은 주사위라고 부르기는 어렵다. 추가로 이 주사위의 다른 단점은 윗면과 아랫면이 대응되는 관계가 아니라서, 숫자를 보기 어렵다는 또 다른 단점도 존재한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Triakis_tetrahedron

 


24면체 주사위 (d24)

24면을 가지는 주사위 4가지 종류가 있는데, 각각 2가지의 삼각형 버전, 사각형 버전, 오각형 버전이 존재한다. 모두 카탈랑의 다면체 이다.

첫번째는 정육면체의 각 면을 4등분 한 뒤, 이를 살짝 볼록하게 만들어진 다면체이다. 이 도형의 이름은 Tetrakis hexahedron 이라고 부른다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrakis_hexahedron

정팔면체의 각면을 3등분한 것처럼 생긴 다면체도 있는데, 이는 Triakis octahedron 이라고 부른다. Traiakis 라는 이름으 들어간 다면체 각 면이 좁아서 상용 주사위 제품은 거의 나오지 않는다. 위의 사진은 3D 프린터로 제작한 것이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Triakis_octahedron

세번째는 연(kite) 모양 사각형 24개로 구성된 Deltoidal icositetrahedron 이라고 부르는 다면체이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoidal_icositetrahedron

 

네번째는 오각형으로 구성된 Pentagonal icositetrahedron 라고 부르는 다면체이다. 특이한 것은 이 도형은 거울 대칭으로 2종류가 존재한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_icositetrahedron

 


30면체 주사위 (d30)

30면체 주사위는 30개의 마름모로 구성된 '마름모삼십면체(Rhombic triacontahedron) 이라고 부르는 다면체로 되어 있다. 이 역시 카탈랑의 다면체 이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_triacontahedron

 


48면체 주사위 (d48)

 

48면체 주사위는 Disdyakis dodecahedron 이라고 부르는 다면체이다. 이 역시 카탈랑의 다면체 이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Disdyakis_dodecahedron

 


60면체 주사위(d60)

60면체 주사위는 4종류가 있는데, 24면체와 유사하게 2가지의 삼각형 버전, 사각형 버전, 오각형 버전이 있다.

 

60개의 삼각형으로 구성되며, 여기서 사용되는 삼각형은 정삼각형이 아니기 때문에, 6개의 삼각형이 접해 있는 면이 존재한다. 이런 도형의 이름은 Pentakis dodecahedron 이라고 부른다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentakis_dodecahedron

 

60개의 삼각형으로 된 도형은 한가지가 더 있는 더 Triakis icosahedron 라고 한다. 앞에서 살명한 것처럼 triakis 가 들어가는 다면체는 주사위로 쓰기에는 각 면의 좁다는 단점이 존재한다. 위 사진도 3D 프린터로 제작한 것이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Triakis_icosahedron

 

60개의 연 모양 사각형으로 구성된 도형이며, Deltoidal hexecontahedron 이라고 부르는 다면체이다. 구조적으로 안정적이게에 위의 사진처럼 판매 제품으로 구할 수 있다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoidal_hexecontahedron

 

이 도형은 60개의 오각형으로 구성된, Pentagonal hexecontahedron 이라고 부르는 도형이다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_hexecontahedron

 


120면체 (d120)

 

무려 120개의 면을 가진 주사위도 존재한다. 이 도형의 이름은 Disdyakis triacontahedron 라고 부르는 도형이다. 사실 이정도가 되면, 나온 숫자가 무엇인지 쉽게 알기 어렵다는 단점이 있다. 

이 주사위를 사용하느니, 그냥 d12 와 d10 을 각각 던져서 d12 의 눈에 10을 곱한다음 d10 을 더해서 사용하는 것이 훨씬 낫다. 실제로 D&D 를 위한 표준 주사위 세트(최상단 사진 참조)에는 100까지 굴리기 위해서 2종류의 d10 주사위가 포함되어 있다.

그렇지만, '가장 면수가 많은 수학적으로 공정한 주사위'라는 점에서 위의 사진처럼 판매되는 제품이 존재한다. 인터넷을 찾아보면 144면 주사위도 존재하고, 나름 유명한 100면 주사위도 존재하는데, 이들은 '수학적으로 공정하지 않다.'

https://en.wikipedia.org/wiki/Disdyakis_triacontahedron

 


 

18면 주사위 (d18) *NOT FAIR*

 

위 이미지는 나름 기하학적으로 의미가 있는 다면체 인데, '마름모육팔면체 ( Rhombicuboctahedron ) '라고 부르는 다면체이다. 18면의 정사각형과 8면의 정삼각형으로 구성되어 있다. 이 도형을 잘 보면 어떤 사각형은 4방향 모두 다른 사각형에 붙어 있고, 또 다른 사각형은 2개의 삼각형과 붙어 있다. 그러므로, 기하학적으로 이 도형은 절대 '공정한 주사위가 될 수 없다.' 그럼에도 불구하고 그 기하학적 아름다움 때문인지, 위 사진처럼 주사위로 만들어져 판매되고 있다. 잘 보면 삼각형 부분을 둥그렇게 연마해서 그쪽으로는 멈추지 않도록 만들어져 있다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Rhombicuboctahedron

그리고, 이와 아주 유사한 오목 다면체가 2가지가 있는데,  Small cubicuboctahedron 와 Small rhombihexahedron 라고 부른다. 도형의 일부분이 오목하게 들어갔다는 점만 빼고는 거의 같은 모습을 가지고 있다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Small_cubicuboctahedron

https://en.wikipedia.org/wiki/Small_rhombihexahedron

 

이 도형을 좀더 변형하여 4개의 정사각형과 12개의 육각형으로 구성된 형태의 주사위도 존재한다. 이 역시 구조적으로 공정하지는 않다.

 


14면 주사위 (d14) *NOT FAIR*

왼쪽의 다면체는 육팔면체 ( Cuboctahedron ) 이고, 오른쪽 다면체의 깍은 정팔면체 (Truncated octahedron) 이다. 육팔면체는 8개의 정삼각형과 6개의 정사각형을 구성되어 있고, 깍은 정팔면체는 8개의 정육각형과 6개의 정사각형으로 구성되어 있다. 

이 두 도형은 둘다 14면체라는 공통점이 있는데, 사각형을 기준으로 잘 늘이고 줄이면 둘 사이에서 서로 변환이 가능함을 알 수 있다. 대략 그 중간쯤 어딘가에 사각형의 크기와 육각형의 크기가 거의 같아지는 지점이 반드시 존재하게 된다.

이런 접근을 바탕으로 왼쪽 육팔면체의 삼각형  (또는 오른쪽 깍은 정팔면체의 사각형)을 조금씩 깍아내어 크기를 살살살 조절해주면 완벽할 수는 없겠지만, 그래도 비교적 공정한 주사위를 만들 수 있다.

위사진은 신라시대의 유물인 '주령구'라는 물건인데, 대략 저 두 다면체의 중간 어디쯤 임을 알 수 있다. 대략적으로 사각형과 육각형의 크기가 얼추 비슷한 크기로 만든 것이다. 그 내용이 '놀고 먹자'라는 내용이다 보니, 엄밀하게 수학적으로 공정할 필요는 없는 물건이다. 오른쪽의 14면 주사위도 그런식으로 만들어 진 것인데, 확률이 공정하지는 않다는 점을 고려해서 사용할 수는 있다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Cuboctahedron

https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_octahedron

https://ko.wikipedia.org/wiki/주령구

 

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