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'골드바흐의 추측'과 혜성 본문

퍼즐판

'골드바흐의 추측'과 혜성

이쁜왕자 2021. 7. 15. 22:37

'혜성'이 연상되는 그래프

마치 혜성처럼 보이는 이 그림은 '골드바흐의 추측'이라는 수학 난제와 관련이 있는 그래프이다. 수학 문제를 풀었을 뿐인데, 이런 멋진 그림이 나오는 거 보면 수학은 정말 신기한 분야이다.

'골드바흐의 추측'은 아래와 같다.

  • 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

4부터 하나씩 조사해 보면 이 추측이 성립함을 알 수 있다. 어느 수학자가 10^20 까지 컴퓨터로 확인했는데, 모두 성립함을 확인 하였다. 하지만, 모든 수에 대해서 증명된 것은 아니다.

4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 7 + 7
16 = 5 + 11
18 = 7 + 11
20 = 7 + 13

문제 자체는 정말 이해하기 쉽지만, 증명되지 않은 수학 난제이다. 참고로, 이보다 조건이 조금 약한 '골드바흐의 약한 추측'은 증명되었다.

그런데, 10 = 5 + 5 = 3 + 7 이라는 2가지 방법으로 표현이 가능하다.  22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11 는 3가지 방법으로 표현가능하고, 34 = 3 + 31 = 5 + 29 = 11 + 23  = 17 + 17 으로 4가지 방법으로 표현가능하다. 주어진 짝수에 대해서 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 몇가지가 있느냐를 '골드바흐의 수'라고 부르는데 이를 그래프로 그리면 상단의 모습이 나온다.

https://oeis.org/A002375

 

A002375 - OEIS

A002375 From Goldbach conjecture: number of decompositions of 2n into an unordered sum of two odd primes. (Formerly M0104 N0040) 165 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 3, 4, 6, 3, 5, 6, 2, 5, 6, 5, 5, 7, 4, 5,

oeis.org

이에 관련된 다른 수열도 있는데, 이 역시 다른 형태의 혜성과 같은 모습이 나온다.

 

관련 문제를 조금 변형해서 주어진 n 에 대해서 이를 골드바흐의 수로 가지는 최소의 자연수라는 수열도 생각할 수 있다.  2, 4, 10, 22, 34, 48, 60, 78, 84, 90, 114 로 진행되는 수열인데, 이 역시 그래프로 그리면 다른 형태의 혜성과 같은 그림이 나온다.

https://oeis.org/A023036

 

A023036 - OEIS

A023036 Smallest positive even integer that is an unordered sum of two primes in exactly n ways. 17 2, 4, 10, 22, 34, 48, 60, 78, 84, 90, 114, 144, 120, 168, 180, 234, 246, 288, 240, 210, 324, 300, 360, 474, 330, 528, 576, 390, 462, 480, 420, 570, 510, 672

oeis.org

 

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